Bilgi Bankası

Test ve madde analizlerinde kullanılan istatistiklerin açıklamaları ve formülleri

İçindekiler
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Yayılma (Dağılım) Ölçüleri
Test Düzeyi İstatistikler
Norm Puanları
Madde İstatistikleri
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Aritmetik Ortalama

Ölçme ve değerlendirmede Aritmetik Ortalama, bir gruba uygulanan testten elde edilen puanların toplamının, teste giren aday (öğrenci) sayısına bölünmesiyle elde edilen istatistiksel bir değerdir. Grubun genel başarı düzeyini (merkezi eğilimini) gösterir ve testin gruba kolay mı yoksa zor mu geldiği hakkında fikir verir.

Formülü
\[\bar{X} = \dfrac{\sum X}{N}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
  • \(\sum X\) : Tüm adayların testten aldığı puanların toplamı
  • \(N\) : Teste giren toplam aday (öğrenci) sayısı
Ortanca (Medyan)

Ortanca, puanlar küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen değerdir. Aday sayısı tek ise ortadaki puan, çift ise ortadaki iki puanın ortalaması alınır. Uç (aşırı yüksek/düşük) puanlardan etkilenmediği için çarpık dağılımlarda ortalamadan daha sağlıklı bir merkezi eğilim ölçüsüdür.

Formülü
\[P = \dfrac{N + 1}{2}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(P\) : Sıralı dizide ortancanın konumu (sıra numarası)
  • \(N\) : Teste giren toplam aday sayısı
Tepe Değer (Mod)

Bir veri kümesinde en çok tekrarlanan (frekansı en büyük olan) ölçme sonucuna tepe değer denir. Birden fazla puan aynı en yüksek frekansa sahipse dağılımın birden çok tepe değeri olabilir. Tepe değerin hesaplanışında matematiksel bir formül yoktur; frekans tablosundan en sık görülen puan okunur.

Yorumlama: Ortalama, ortanca ve tepe değerin birbirine yakın olması dağılımın normale yaklaştığını gösterir.
Yayılma (Dağılım) Ölçüleri
Ranj (Dizi Genişliği)

En büyük ölçüm ile en küçük ölçüm arasındaki farka ranj (dizi genişliği) denir. Puanların ne kadar geniş bir aralığa yayıldığını gösteren en basit yayılma ölçüsüdür; yalnızca iki uç değere dayandığı için kaba bir göstergedir.

Formülü
\[R = X_{max} - X_{min}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(X_{max}\) : Testten alınan en yüksek puan
  • \(X_{min}\) : Testten alınan en düşük puan
Varyans

Varyans, puanların aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin ortalamasıdır. Veri setindeki değerlerin ortalamaya göre dağılımını (değişimini) gösterir. Değer büyüdükçe puanlar ortalamadan uzağa yayılmış demektir.

Formülü
\[S^2 = \dfrac{\sum\left(X - \bar{X}\right)^2}{N}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(X\) : Bir adayın test puanı
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
  • \(N\) : Teste giren toplam aday sayısı
Standart Sapma

Standart sapma, puanların aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığının ortalama bir ölçüsüdür ve varyansın kareköküdür. Düşük standart sapma puanların ortalamaya yakın (homojen grup), yüksek standart sapma ise geniş bir dağılımı (heterojen grup) gösterir.

Formülü
\[S = \sqrt{\dfrac{\sum\left(X - \bar{X}\right)^2}{N}}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(X\) : Bir adayın test puanı
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
  • \(N\) : Teste giren toplam aday sayısı
Bağıl Değişim Katsayısı

Bağıl değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranının yüzde olarak ifadesidir. Farklı ortalamalara sahip grupların değişkenliğini karşılaştırmayı sağlar.

Formülü
\[V = \dfrac{S}{\bar{X}} \times 100\]
Sembollerin Anlamı
  • \(S\) : Standart sapma
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
Yorumlama: V < %20 ise puanlar homojen (birbirine benzer), V > %25 ise heterojen (birbirinden farklı) kabul edilir; %20–25 arası normal dağılıma işaret eder.
Çarpıklık Katsayısı

Dağılımın simetriden ne yönde ve ne kadar saptığını gösterir. Ortalama ve ortanca dağılım üzerinde ayrı noktalarda ise dağılım çarpık (kayışlı) olur. Pozitif değer sağa (artı yöne) çarpıklığı — testin gruba zor geldiğini, negatif değer sola (eksi yöne) çarpıklığı — testin gruba kolay geldiğini gösterir; sıfıra yakın değer simetrik dağılıma işaret eder.

Formülü
\[g_1 = \dfrac{\sum\left(X - \bar{X}\right)^3}{N\,S^3}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(X\) : Bir adayın test puanı
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
  • \(S\) : Standart sapma
  • \(N\) : Teste giren toplam aday sayısı
Test Düzeyi İstatistikler
Testin Ortalama Güçlüğü

Test puanlarının ortalama güçlüğü, test ortalamasının testten alınması mümkün olan en yüksek puana bölünmesiyle bulunur. 0 ile 1 arasında değer alır; 1'e yaklaştıkça test kolaylaşır, 0'a yaklaştıkça zorlaşır. 0.50 civarı orta güçlükte bir teste işaret eder.

Formülü
\[p = \dfrac{\bar{X}}{K}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
  • \(K\) : Testteki toplam soru (madde) sayısı
KR-20 (Cronbach α)

KR-20 katsayısı, testin iç tutarlılığını (güvenirliğini) ölçen bir değerdir; doğru/yanlış (ikili) puanlanan testlerde Cronbach alfa katsayısı ile özdeştir. 0 ile 1 arasında değer alması beklenir: 0 testin tamamen tutarsız, 1 tamamen tutarlı olduğunu gösterir. 0.70'in altındaki değerler genellikle yetersiz kabul edilir.

Formülü
\[KR_{20} = \dfrac{K}{K-1}\left(1 - \dfrac{\sum p_j\, q_j}{S^2}\right)\]
Sembollerin Anlamı
  • \(K\) : Testteki toplam soru (madde) sayısı
  • \(p_j\) : j. maddeyi doğru cevaplayanların oranı (madde güçlüğü)
  • \(q_j\) : j. maddeyi doğru cevaplayamayanların oranı (1 − p)
  • \(S^2\) : Test puanlarının varyansı
KR-21

KR-21, KR-20'nin tüm maddelerin eşit güçlükte olduğu varsayımıyla basitleştirilmiş halidir; yalnızca ortalama, varyans ve madde sayısıyla hesaplanır. Hızlı ve yaklaşık bir göstergedir, madde güçlükleri birbirinden farklılaştıkça KR-20'den sapar; KR-20 yerine kullanılmaz.

Formülü
\[KR_{21} = \dfrac{K}{K-1}\left(1 - \dfrac{\bar{X}\,(K - \bar{X})}{K\,S^2}\right)\]
Sembollerin Anlamı
  • \(K\) : Testteki toplam soru (madde) sayısı
  • \(\bar{X}\) : Aritmetik ortalama
  • \(S^2\) : Test puanlarının varyansı
Standart Ölçme Hatası (SEM)

Standart ölçme hatası, bir adayın gözlenen puanının gerçek puanından ne kadar sapabileceğini gösterir. Güvenirlik yükseldikçe ölçme hatası küçülür. Gözlenen puan etrafında güven aralığı kurmak için kullanılır (%95 güven aralığı ≈ puan ± 1.96·SEM).

Formülü
\[SEM = S\,\sqrt{1 - r}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(S\) : Test puanlarının standart sapması
  • \(r\) : Testin güvenirlik katsayısı (KR-20 / Cronbach α)
Norm Puanları
Yüzde Puan

Adayın doğru sayısının testteki toplam soru sayısına oranının yüzde olarak ifadesidir. Ham puanı testin uzunluğundan bağımsız, 0–100 aralığında karşılaştırılabilir bir ölçeğe taşır.

Formülü
\[\% = \dfrac{X}{K} \times 100\]
Sembollerin Anlamı
  • \(X\) : Adayın doğru sayısı (ham puan)
  • \(K\) : Testteki toplam soru sayısı
z Puanı

z puanı, adayın ham puanının grup ortalamasından kaç standart sapma uzakta olduğunu gösteren standart puandır. Ortalaması 0, standart sapması 1'dir. Pozitif z grubun üstünde, negatif z grubun altında bir performansa işaret eder.

Formülü
\[z = \dfrac{X - \bar{X}}{S}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(X\) : Adayın ham puanı
  • \(\bar{X}\) : Grubun aritmetik ortalaması
  • \(S\) : Grubun standart sapması
T Puanı

T puanı, z puanının negatif ve ondalıklı değerlerden arındırılmış halidir; ortalaması 50, standart sapması 10 olan bir ölçeğe dönüştürülür. 50'nin üzerindeki değerler grup ortalamasının üstünü gösterir.

Formülü
\[T = 50 + 10z\]
Sembollerin Anlamı
  • \(z\) : Adayın z puanı
Yüzdelik Dilim (Percentile)

Yüzdelik dilim, adayın grubun yüzde kaçından daha başarılı olduğunu gösterir. Aynı puanı alanların yarısı adayın altında sayılır (orta-sıra yaklaşımı). Örneğin yüzdelik değeri 85 olan bir aday, grubun yaklaşık %85'inden daha yüksek puan almıştır.

Formülü
\[PR = \dfrac{N_{<} + 0.5\,N_{=}}{N} \times 100\]
Sembollerin Anlamı
  • \(N_{<}\) : Adayın puanının altında kalan aday sayısı
  • \(N_{=}\) : Adayla aynı puanı alan aday sayısı
  • \(N\) : Teste giren toplam aday sayısı
Stanine (Standart Dokuzlu)

Stanine, puanları 1'den 9'a kadar dokuz basamaklı bir ölçeğe dönüştürür (standard nine). 5 ortalamayı temsil eder; 1–3 düşük, 4–6 orta, 7–9 yüksek performans bölgesidir. Yüzdelik dilime göre standart sınırlar kullanılır: %4, %11, %23, %40, %60, %77, %89 ve %96.

Yorumlama: Yüzdelik < 4 → 1 · < 11 → 2 · < 23 → 3 · < 40 → 4 · < 60 → 5 · < 77 → 6 · < 89 → 7 · < 96 → 8 · ≥ 96 → 9
Madde İstatistikleri
Madde Güçlük İndeksi

Madde güçlük indeksi, bir maddeyi (soruyu) doğru cevaplayan aday sayısının, maddeyi cevaplayan toplam aday sayısına oranıdır. 0 ile 1 arasında değer alır; 1'e yaklaştıkça madde kolaylaşır. 0.50 civarındaki maddeler orta güçlükte kabul edilir ve testin ayırt ediciliğine en çok katkıyı sağlar.

Formülü
\[p_j = \dfrac{D_j}{N}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(D_j\) : Maddeyi doğru cevaplayan aday sayısı
  • \(N\) : Maddeyi cevaplayan toplam aday sayısı
Madde Ayırt Edicilik İndeksi

Madde ayırt edicilik indeksi, maddenin bilen ile bilmeyeni (başarılı ile başarısız adayı) ayırt etme gücüdür. Adaylar toplam puana göre sıralanır; üst %27'lik ve alt %27'lik gruplarda maddeyi doğru cevaplayanların farkı grup büyüklüğüne bölünür. −1 ile +1 arasında değer alır.

Formülü
\[r_{jx} = \dfrac{D_{ü} - D_{a}}{n_g}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(D_{ü}\) : Üst grupta (%27) maddeyi doğru cevaplayan aday sayısı
  • \(D_{a}\) : Alt grupta (%27) maddeyi doğru cevaplayan aday sayısı
  • \(n_g\) : Bir gruptaki aday sayısı (N × 0.27)
Yorumlama: 0.40 ve üzeri çok iyi; 0.30–0.39 oldukça iyi; 0.20–0.29 düzeltilmeli; 0.19 ve altı çok zayıf (testten çıkarılmalı).
Madde Varyansı

Madde varyansı, bir maddeyi doğru cevaplayanların oranı (madde güçlük indeksi) ile doğru cevaplayamayanların oranının çarpımıdır. Maddenin adayları ne ölçüde farklılaştırdığını gösterir; p = 0.50 iken en büyük değerini (0.25) alır.

Formülü
\[s_j^2 = p_j \cdot q_j\]
Sembollerin Anlamı
  • \(p_j\) : Madde güçlük indeksi
  • \(q_j\) : Maddeyi doğru cevaplayamayanların oranı (1 − p)
Madde Standart Sapması

Madde standart sapması, madde varyansının kareköküdür. Maddeye verilen cevapların (doğru/yanlış) yayılımını gösterir.

Formülü
\[s_j = \sqrt{p_j\, q_j}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(p_j\) : Madde güçlük indeksi
  • \(q_j\) : Maddeyi doğru cevaplayamayanların oranı (1 − p)
Madde Güvenirlik İndeksi

Madde güvenirlik indeksi, maddenin testin genel güvenirliğine katkısını değerlendirir; madde ayırt edicilik indeksi ile madde standart sapmasının çarpımıdır. Yüksek değer maddenin güvenirliğe olumlu katkı sağladığını, düşük veya negatif değer maddenin gözden geçirilmesi ya da testten çıkarılması gerektiğini gösterir.

Formülü
\[r_j = r_{jx} \cdot s_j\]
Sembollerin Anlamı
  • \(r_{jx}\) : Madde ayırt edicilik indeksi
  • \(s_j\) : Madde standart sapması
Nokta Çift Serili Korelasyon

Nokta çift serili korelasyon katsayısı, ikili (doğru/yanlış) puanlanan madde ile sürekli olan test toplam puanı arasındaki ilişkiyi ölçer. −1 ile +1 arasında değer alır; 1'e yaklaştıkça maddeyi doğru cevaplayanların testin genelinde de başarılı olduğu (maddenin iyi ayırt ettiği) anlaşılır. Düzeltilmiş sürümde, maddenin kendisiyle korelasyonu yapay olarak şişirmemesi için toplam puandan maddenin puanı çıkarılır.

Formülü
\[r_{pb} = \dfrac{\bar{X}_D - \bar{X}_Y}{S_x}\,\sqrt{p_j\, q_j}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(\bar{X}_D\) : Maddeyi doğru cevaplayanların toplam puan ortalaması
  • \(\bar{X}_Y\) : Maddeyi yanlış cevaplayanların toplam puan ortalaması
  • \(S_x\) : Test toplam puanlarının standart sapması
  • \(p_j\) : Madde güçlük indeksi
  • \(q_j\) : 1 − p
Çift Serili Korelasyon

Çift serili korelasyon katsayısı, aslında sürekli olduğu varsayılan ancak yapay olarak ikiye bölünmüş (doğru/yanlış) bir değişken ile sürekli değişken (toplam puan) arasındaki ilişkiyi ölçer. Nokta çift serili korelasyondan farkı, normal dağılım varsayımı altında ordinat (y) düzeltmesi kullanmasıdır; bu nedenle mutlak değeri nokta çift seriliden büyük çıkar.

Formülü
\[r_b = \dfrac{\bar{X}_D - \bar{X}_Y}{S_x} \cdot \dfrac{p_j\, q_j}{y}\]
Sembollerin Anlamı
  • \(\bar{X}_D\) : Maddeyi doğru cevaplayanların toplam puan ortalaması
  • \(\bar{X}_Y\) : Maddeyi yanlış cevaplayanların toplam puan ortalaması
  • \(S_x\) : Test toplam puanlarının standart sapması
  • \(p_j\) : Madde güçlük indeksi
  • \(q_j\) : 1 − p
  • \(y\) : Standart normal dağılımda p oranına karşılık gelen ordinat değeri